（2010•河西区一模）如图甲所示，质量为m=0.5kg、电阻r=1Ω的跨接杆ab可以无摩擦地沿水平固定导轨滑行，导轨足够长，两导轨间宽度为L=1m，导轨电阻不计，电阻R1=1.5Ω，R2=3Ω，装置处于竖直

Question

（2010•河西区一模）如图甲所示，质量为m=0.5kg、电阻r=1Ω的跨接杆ab可以无摩擦地沿水平固定导轨滑行，导轨足够长，两导轨间宽度为L=1m，导轨电阻不计，电阻R₁=1.5Ω，R₂=3Ω，装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B=1T．杆从x轴原点O以水平初速度向右滑行，直到停止．已知杆在整个运动过程中v随位移x变化的关系如图乙所示．求：
（1）在杆的整个运动过程中，电流对电阻R₁做的功，
（2）在杆的整个运动过程中，通过电阻R₁的电量，
（3）要使R₁产生1J的热量，杆需向右移动的距离及此时R₁的功率．

Answer 1

（1）设整个电路中电流做功为W，则根据功能关系得
   W=(1)/(2)m

v

2 0

=(1)/(2)×0.5×42J=4J
设杆中瞬时电流为I，则电流对杆做功W_ab=I²rt，
电流对R₁做功W₁=I₁²R₁t，电流对R₂做功W₂=I₂²R₂t，
由于(I1)/(I2)＝(R2)/(R1)=2，则I1＝(2)/(3)I，I₂=(1)/(3)I
又r=1Ω，R₁=1.5Ω，R₂=3Ω，得W_ab=1.5W₁，W₂=0.5W₁，
∵W=W_ab+W₁+W₂=3W₁，
∴W₁=(1)/(3)W=(4)/(3)J
（2）根据

.

E

=(△Φ)/(△t)，

.

I

＝(.E)/(r+(R1R2)/(R1+R2))，q=

.

I

•△t，△Φ=BLx
联立得，通过杆的电量q=(BLx)/(r+(R1R2)/(R1+R2))
代入解得，q=2C
由于R₁与R₂并联，电流与电阻成反比，而电量q=It，则得
通过电阻R₁的电量q₁=(R2)/(R1+R2)q=(4)/(3)C
（3）要使R₁产生1J的热量，由上题电功关系可知，R₁产生0.5J的热量，杆产生的热量为1.5J，电路中产生的总热量为Q=1J+0.5J+1.5J=3J
设此时杆的速度为v，由能量守恒得
   Q+(1)/(2)mv2=(1)/(2)m

v

2 0

，
解得v=2m/s
由图知，杆需向右移动的距离x=2m
此时杆产生的感应电动势为E=BLv=2V，干路中电流为I=(E)/(R)=1A
则I1＝(2)/(3)I=(2)/(3)A
此时R₁的功率为P=

I

2 1

R1=(2)/(3)W
答：
（1）在杆的整个运动过程中，电流对电阻R₁做的功为(4)/(3)J，
（2）在杆的整个运动过程中，通过电阻R₁的电量为(4)/(3)C，
（3）要使R₁产生1J的热量，杆需向右移动的距离为2m，此时R₁的功率为(2)/(3)W．