如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（）A．22B．24C．105D．123

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（　　）

A．22
B．24
C．10√(5)
D．12√(3)

Answer 1

对于直线y=kx-3k+4，当x=3时，y=4，
故直线y=kx-3k+4恒经过点（3，4），记为点D．
过点D作DH⊥x轴于点H，
则有OH=3，DH=4，OD=√(OH2+DH2)=5．
∵点A（13，0），
∴OA=13，
∴OB=OA=13．
由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示，
因此运用垂径定理及勾股定理可得：
BC的最小值为2BD=2√(OB2−OD2)=2×√(132−52)=2×12=24．
故选：B．