如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．（1）求证：PC⊥AB；（2）求二面角B-AP-C的大小的余弦．

Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．

（1）求证：PC⊥AB；
（2）求二面角B-AP-C的大小的余弦．

Answer 1

（1）∵AC=BC=2，AP=BP，∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，∴PC⊥BC．
∵AC∩BC=C，
∴PC⊥平面ABC．
∵AB⊂平面ABC，
∴PC⊥AB．
（2）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．
设P（0，0，t）．
∵PB=AB=2√(2)，
∴t=2，P（0，0，2），
取AB中点E，连结BE，CE．
AC=PC，AB=BP，
CE⊥AP，BE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
∵E（0，1，1），

EC

=(0，-1，-1)，

EB

=(2，-1，-1)，
∴cos∠BEC=(EC•EB)/(|EC||EB|)=(2)/(√(2)•√(6))=(√(3))/(3)．