一道数学题1设a、b是实数,对所有正整数n（》2）,a^n+b^n都是有理数,证明：a+b都是有理数.

Question

一道数学题1
设a、b是实数,对所有正整数n（》2）,a^n+b^n都是有理数,证明：a+b都是有理数.

Answer 1

令 c = a^n+b^n ,d = a^(n+1)+b^(n+1) ,e = a^(n+2)+b^(n+2) ,f = a^(n+3)+b^(n+3) ,
则 对所有正整数n（》2）,c、d、e、f 都是有理数；
设 x = a+b ,y = ab ,
则有：dx-cy = e ,ex-dy = f ,
消去 y ,可得：(ce-d²)x = cf-de ；
当 ce-d² ≠ 0 时,可得：x = (cf-de)/(ce-d²) 是有理数；
当 ce-d² = 0 时,即有：(a^n+b^n)[a^(n+2)+b^(n+2)]-[a^(n+1)+b^(n+1)]² = (a-b)²(ab)^n = 0 ；
分情况讨论：
① 当 a = b = 0 时,可得：x = 0 是有理数；
② 当 a = b ≠ 0 时,c = 2a^n ,d = 2a^(n+1) ,可得：x = 2a = 2d/c 是有理数；
③ 当 a ≠ 0 ,b = 0 时,c = a^n ,d = a^(n+1) ,可得：x = a = d/c 是有理数；
④ 当 a = 0 ,b ≠ 0 时,c = b^n ,d = b^(n+1) ,可得：x = b = d/c 是有理数；
综上可得：x = a+b 是有理数.