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y3*y"+1=0,求微分方程的解
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y3*y"+1=0,求微分方程的解
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答案和解析
令p=y'=dy/dx
则y"=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
方程化为：y^3 pdp/dy+1=0
pdp=-dy/y^3
积分得：p^2/2=y^(-2)/2+c1
即：p=√[y^(-2)+c]
dy/√[y^(-2)+c]=dx
ydy/√(1+cy^2)=dx
d(1+cy^2)/√(1+cy^2)=2cdx
2√(1+cy^2)=2cx+2c1
即通解为：1+cy^2=(cx+c1)^2
则y"=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
方程化为：y^3 pdp/dy+1=0
pdp=-dy/y^3
积分得：p^2/2=y^(-2)/2+c1
即：p=√[y^(-2)+c]
dy/√[y^(-2)+c]=dx
ydy/√(1+cy^2)=dx
d(1+cy^2)/√(1+cy^2)=2cdx
2√(1+cy^2)=2cx+2c1
即通解为：1+cy^2=(cx+c1)^2
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