为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分），以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy

Question

为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分），以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．景观湖的边界线符合函数y=x+(1)/(x)（x>0）模型，园区服务中心P在x轴正半轴上，PO=(4)/(3)百米．
（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；
（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道PQ最短．

Answer 1

（1）设M（x，x+(1)/(x)），则|OM|²=x²+（x+(1)/(x)）²=2x²+(1)/(x2)+2≥2√(2)+2，
当且仅当2x²=(1)/(x2)即x²=(√(2))/(2)时取等号，
∴|OM|的最短距离为√(2√(2)+2)．
（2）过P作函数y=x+(1)/(x)的切线l，设切线l的方程为y=k（x-(4)/(3)）（k<0），
联立方程组

y=k(x-(4)/(3))

y=x+(1)/(x)

，得（1-k）x²+(4k)/(3)x+1=0，
令△=(16)/(9)k²-4（1-k）=0得k=-3或k=(3)/(4)（舍），
∴直线l的方程为y=-3（x-(4)/(3)），
令y=5得x=-(1)/(3)，
∴DQ=6-(1)/(3)=(17)/(3)．
∴当|DQ|=

作业帮用户 2017-10-09