高三数学已知函数f1（x）=e|x-2a+1|,f2（x）=e|x-a|+1,x∈R．求函数g(x)=(f1(x)+f2(x))/2-(|f1(x)-f2(x)|)/2在x∈[1,6]上的最小值

Question

高三数学
已知函数f1（x）=e|x-2a+1|,f2（x）=e|x-a|+1,x∈R．
求函数g(x)= (f1(x)+f2(x)) /2 - (|f1(x)-f2(x)|)/ 2 在x∈[1,6]上的最小值

Answer 1

g（x）=﹛ f1(x),f1(x)≤f2(x)
﹛f2(x),f1(x)＞f2(x)
∵y=e^x单调递增
∴f1（x）与f2（x）的大小关系和|x-2a+1|与|x-a|+1的大小关系相同
令F1（x）=|x-2a+1|,F2（x）=|x-a|+1,
G（x）=﹛ F1(x),F1(x)≤F2(x)
﹛F2(x),F1(x)＞F2(x) ,x∈[1,6]
①当2a-1＜a 即a＜1时,x≥1＞a,
G（x）= F2（x）=|x-a|+1= x-a+1,单调递增,
∴G（x）min=G（1）=2-a,
∴g（x）min=e^﹙2-a﹚；
②当a∈[1,3.5] 时,
1≤a≤2a-1≤6,
∴G（x）min=G（2a-1）= F1（2a-1）=0
∴g（x）min=e^0=1;
②当a∈（3.5,4]时,
﹙令2a-1-x=1,得x=2a-2,
令 2a-2=6,则a=4﹚
2a-2＜6＜2a-1,
2a-1＞6≥x
∴F1（x）=2a-1-x
∴G（x）min=G（6）= F1（6）=2a-7
∴g（x）min=e^﹙2a-7﹚
④当a∈(4,6]时,a≤6＜2a-2,
∴G（x）min=F2（a）=1,
∴g（x）min=e^1=e.
⑤当a＞6时,a＞6≥x,G（x）=F2（x）=a-x+1,
单调递减
∴G（x）min=F2（6）=a-5,
∴g（x）min=e^( a-5﹚.