已知函数和函数g(x)=lnx，记F(x)=f(x)+g(x)．(1)当时，若f(x)在[1，2]上的最大值是f(2)，求实数a的取值范围；(2)当a=1时，判断F(x)在其定义域内是否有极值，并予以证明；(3)对任意的，若F(x)在其定

Question

已知函数和函数g(x)=lnx，记F(x)=f(x)+g(x)．
(1)当时，若f(x)在[1，2]上的最大值是f(2)，求实数a的取值范围；
(2)当a=1时，判断F(x)在其定义域内是否有极值，并予以证明；
(3)对任意的，若F(x)在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数a的取值范围．____

Answer 1

【分析】(1)时求出函数的解析式，利用导数研究出函数在[1，2]上的单调性，及最大值是f(2)，建立不等式解出实数a的取值范围；
\n(2)当a=1时，求出函数的解析式，函数的定义域，利用导数研究函数的极值；
\n(3)对任意的，若F(x)在其定义域内既有极大值又有极小值，可得出其导数在定义域上恒有两个不同的根，解出函数的导数，根据其形式选择合适的方法，将导数为0有两个不同根转化为关于参数的不等式求解．

(1)时，．
\n①当a=0时，，不合题意；
\n②当a<0时，在上递增，在上递减，而，故不合题意；
\n③当a>0时，在上递减，在上递增，
\nf(x)在[1，2]上的最大值是max{f(1)，f(2)}=f(2)，
\n所以f(1)≤f(2)，即，
\n所以a≥1．
\n综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞)．
\n(2)a=1时，定义域为(0，+∞)，．
\n①当cosα≠0时，F′(x)>0，F(x)在(0，+∞)上单调递增，从而F(x)在其定义域内没有极值；
\n②当cosα=0时，，令F′(x)=0有x=1，但是x∈(0，1)时，F′(x)>0，F(x)单调递增，x∈(1，+∞)时，F′(x)>0，F(x)也单调递增，
\n所以F(x)在其定义域内也没有极值．
\n综上，F(x)在其定义域内没有极值．
\n(3)据题意可知，令，
\n即方程ax²-2xsin²α+1=0在(0，+∞)上恒有两个不相等的实数根．
\n即恒成立.
\n因为，，
\n所以．

【点评】本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，本题第三小题是一个恒成立的问题，要转化为导数方程有两个不同根来求解，本题运算量过大，解题时要认真严谨，避免变形运算失误，导致解题失败．