（20分）在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备

Question

（ 20 分）在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有 20 个岗位。为了试验 5 种不同新式武器，打算安排 5 个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻 5 个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？

Answer 1

解析： 设 20 个岗位按先后排序为 1 ， 2 ，，… ， 20 ，且设第 k 种新式武器设置的序号为   。令 ， ， ， ， ，

，则有

                                         （ * ）

其中 ， 。        -------------------------------------- 5 分

作代换 ， ，从而有

                                         （ ** ）

其中       。     ---------------------------------------------------------- 10 分

现求解问题（ ** ） :

方法一 ： 设 I 为 的正整数解的全体， 为 I 中 满足 的解的全体。则

上式成立的原因是 ，因为没有同时满足 ， ， 的 的正整数组。所以

.    -------------- 15 分

方法二 ：问题（ ** ）的解数等于 展开式中 的系数。

而 ，

故只须求 展开式中 的系数。

因此 的系数为 6 × 15 ＋ 20 × 20 ＋ 6 × 15 ＝ 580 。   ----------------------------------------- 15 分

因为 5 种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，所以配备新式武器的方案数等于

。    ------------------------------------------ 20 分