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在三角形ABC中,2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinc,求sinB+sinC的最大值
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在三角形ABC中,2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinc,求sinB+sinC的最大值
▼优质解答
答案和解析
由正弦定理得a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC
代入2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinc
得2a²=(2b+c)b+(2c+b)c
化简得a²=b²+c²+bc
由余弦定理得cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=-1/2
所以A=120°
即B+C=60°
sinB+sinC=2sin(B+C)/2cos(B-C)/2=cos(B-c)/2
当B-C=0时
sinB+sinC=cos(B-c)/2最大值是1
即当B=C=30°A=120°时
sinB+sinC最大值是1
代入2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinc
得2a²=(2b+c)b+(2c+b)c
化简得a²=b²+c²+bc
由余弦定理得cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=-1/2
所以A=120°
即B+C=60°
sinB+sinC=2sin(B+C)/2cos(B-C)/2=cos(B-c)/2
当B-C=0时
sinB+sinC=cos(B-c)/2最大值是1
即当B=C=30°A=120°时
sinB+sinC最大值是1
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