等轴双曲线中心在原点,焦点在X轴上,与直线y=1/2x交于A、B两点,若|AB|=2√15,则双曲线的方程为

Question

等轴双曲线中心在原点,焦点在X轴上,与直线y=1/2x交于A、B两点,若|AB|=2√15,则双曲线的方程为

Answer 1

等轴双曲线,可设方程为：x²-y²=t,t≠0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则由弦长公式：AB=[√(1+1/k²)]|y1-y2|=(√5)|y1-y2|
(√5)|y1-y2|=2√15
得：|y1-y2|=2√3
把x=2y代入双曲线得：3y²=t,显然t>0；
y1=-√(t/3),y2=√(t/3)
则：|y1-y2|=2√(t/3)=2√3
得：t/3=3
得：t=9
所以,方程为：x²-y²=9
即：x²/9-y²/9=1