设矩阵A是m×n矩阵，矩阵B是n×s矩阵．证明：rank（AB）≥rank（A）+rank（B）-n．

Question

设矩阵A是m×n矩阵，矩阵B是n×s矩阵．证明：rank（AB）≥rank（A）+rank（B）-n．

Answer 1

证明：设B=（β₁，β₂，…，β_s），则
AB=（Aβ₁，Aβ₂，…，Aβ_s）
不妨设Aβ₁，Aβ₂，…，Aβ_r是AB列向量组的一个极大无关，则
r=rank（AB）
∴AB=（Aβ₁，Aβ₂，…，Aβ_r，Aβ_r+1，…，Aβ_s）的后面s-r个列向量都可以由Aβ₁，Aβ₂，…，Aβ_r线性表出
不妨设，Aβ_i=c_i1Aβ₁+c_i2Aβ₂+…+c_irβ_r（i=r+1，…，s）
∴A（β_i-c_i1β₁-c_i2Aβ₂-…-c_irβ_r）=0（i=r+1，…，s）
设β′_i=β_i-c_i1β₁-c_i2Aβ₂-…-c_irβ_r，（i=r+1，…，s）
则β′_i∈AX=0的解，（i=r+1，…，s）
∴向量组β′_i（i=r+1，…，s）的秩≤n-rank（A）
于是，
rank（B）=rank（β₁，β₂，…，β_s）=rank（β₁，…，β_r，β′_r+1，…，β′_s）
≤rank（β₁，…，β_r）+rank（β′_r+1，…，β′_s）
≤r+n-rank（A）=rank（AB）+n-rank（A）
即rank（AB）≥rank（A）+rank（B）-n．