已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3=3，S3=9（1）求数列{an}的通项公式．（2）设bn=log23a2n+3，且{bn}为递增数列．若cn=8bnbn+1，求证：c1+c2+…+cn<2．

Question

已知数列{a_n}是等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₃=3，S₃=9
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=log₂(3)/(a2n+3)，且{b_n}为递增数列．若c_n=(8)/(bnbn+1)，求证：c₁+c₂+…+c_n<2．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}的公比为q．由S₃=a₁+a₂+a₃=9，a₃=3，
∴(3)/(q2)+(2)/(q)+3=9，解得q=1或q=-(1)/(2)，…3
当q=1时，a_n=3，
当q=-(1)/(2)时，a_n=a₃q^n-3=3×（-(1)/(2)）^n-3；
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3或a_n=3×（-(1)/(2)）^n-3；…6
（2）证明：由数列{b_n}为递增数列，则a_n=3，不合题意…8
当a_n=a₃q^n-3=3×（-(1)/(2)）^n-3时，则b_n=log₂(3)/(a2n+3)=2n，符合题意．
∴c_n=(8)/(bnbn+1)=(2)/(n(n+1))=2（(1)/(n)-(1)/(n+1)），
c₁+c₂+…+c_n=2[（1-(1)/(2)）+（(1)/(2)-(1)/(3)）+…+（(1)/(n)-(1)/(n+1)）]=2（1-(1)/(n+1)）<2，
∴c₁+c₂+…+c_n<2．…12．