若函数y1=sin（2x1）+12（x1∈[0，π]），函数y2=x2+3，则（x1-x2）2+（y1-y2）2的最小值为（）A．212π+52−64B．212πC．（52−64）2D．(π−33+15)272

Question

若函数y₁=sin（2x₁）+(1)/(2)（x₁∈[0，π]），函数y₂=x₂+3，则（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值为（　　）

A．(√(2))/(12)π+(5√(2)−√(6))/(4)
B．(√(2))/(12)π
C．（(5√(2)−√(6))/(4)）²
D．((π−3√(3)+15)2)/(72)

Answer 1

由题意（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值，可知直线与曲线上的两点的距离的平方，
函数y₁=sin（2x₁）+(1)/(2)（x₁∈[0，π]），
y₁′=2cos（2x₁），x₁∈[0，π]，
2cos（2x₁）=1，解得x₁=(π)/(6)．此时y₁=(√(3)+1)/(2)．
点（(π)/(6)，(√(3)+1)/(2)）到直线y₂=x₂+3的距离的平方为：((|(π)/(6)−(√(3)+1)/(2)+3|)/(√(2)))2=((π−3√(3)+15)2)/(72)．
故选：D．