已知函数f=大括号{(2x^3)/x+1,x∈(1/2,1],{(-1/3)x+1/6x∈[0,1/2]函数g=asin(π/6)x-2a+2(a>0),若存在x1,x2∈0.1,使得f=g成立,则实数a的取值范围是A[1/2,4/3]B(0.1/2]C[2/3,4/3]D[1/2,1]

Question

已知函数f=大括号
{(2x^3)/x+1 ,x∈(1/2,1],
{(-1/3)x+1/6 x∈[0,1/2] 函数g=asin【(π/6)x】-2a+2(a>0),若存在x1,x2∈【0.1】,使得f=g成立,则实数a的取值范围是
A [1/2,4/3]
B (0.1/2]
C [2/3,4/3]
D [1/2,1]

Answer 1

f(x)={(2x^3)/(x+1) ,x∈(1/2,1],
{(-1/3)x+1/6 x∈[0,1/2]
1/2f'(x)=[6x²*(x+1)-2x³]/(x+1)²
=(4x³+6)/(x+1)²>0
∴f(x)在(1/2,1]上递增
f(x)∈(1/6,1]
0≤x≤1/2时,f(x)递减
f(x)∈[0,1/6]
∴f（x)的值域为[0,1]
g=asin[(π/6)x]-2a+2(a>0)
∵0≤x≤1 ∴0≤π/6*x≤π/6
∴0≤sin[(π/6)x]≤1/2
∴2-2a≤g(x)≤2-3/2a
g(x)的值域为[2-2a,2-3/2a]
存在x1,x2∈【0.1】,使得f=g成立
则f(x) 与g(x)的值域交集非空集
需0≤2-2a≤1或0≤2-3/2a≤1
∴1/2≤a≤1或2/3≤a≤4/3
∴1/2≤a≤1
选D