一直一个直角三角形的周长为2,求其斜边的最小值

Question

一直一个直角三角形的周长为2,求其斜边的最小值

Answer 1

有一个定理：sqrt[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2.sqrt表示开平方.
左边那项叫做“平方平均值”,右边那项叫做“算术平均值”.
一般恒有：有限个实数的平方平均值≥它们的算术平均值,当且仅当它们全相等时取等号.
设直角三角形的三边长度分别为a,b,c
根据题意有：a+b+c=2
根据勾股定理有：a^2 + b^2 =c^2
由得出：a+b=2-c
从而有：
sqrt[c^2/2] >=(2-c)/2
两边平方可得：(c+2)^2 >= 8
解得：c+2 >=2√2 或者 c+2 = 2(√2 -1)
当且仅当 a=b=2-√2 时,c取得最小值