已知fn（x）=（1+x）n，（Ⅰ）若f2011（x）=a+a1x+…+a2011x2011，求a1+a3+…+a2009+a2011的值；（Ⅱ）若g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），求g（x）中含x6项的系数；（Ⅲ）证明：．

Question

已知f_n（x）=（1+x）ⁿ，
（Ⅰ）若f₂₀₁₁（x）=a+a₁x+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹，求a₁+a₃+…+a₂₀₀₉+a₂₀₁₁的值；
（Ⅱ）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）中含x⁶项的系数；
（Ⅲ）证明：．

Answer 1

（I）给f₂₀₁₁（x）的展开式中的x分别赋值1，-1；两式相减求出待求的系数和．
（II）由于g（x）是由三个二项式的和组成；利用二项展开式的通项公式求出三个二项式中x⁶的系数，求它们的和．
（III）构造函数h（x）；待证等式的左边即为h（x）展开式含x^m的系数和；通过数列的求和方法：错位相减法求出h（x）；求出h（x）的展开式含x^m项的系数；利用组合数公式化简，恒等式得证．
【解析】
（Ⅰ）因为f_n（x）=（1+x）ⁿ，
所以f₂₀₁₁（x）=（1+x）²⁰¹¹，
又f₂₀₁₁（x）=a+a₁x+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹，
所以f₂₀₁₁（1）=a+a₁+…+a₂₀₁₁=2²⁰¹¹（1）
f₂₀₁₁（-1）=a-a₁+…+a₂₀₁₀-a₂₀₁₁=0（2）
（1）-（2）得：2（a₁+a₃+…+a₂₀₀₉+a₂₀₁₁）=2²⁰¹¹
所以：a₁+a₃+…+a₂₀₀₉+a₂₀₁₁=f₂₀₁₁（1）=2²⁰¹⁰（2分）
（Ⅱ）因为g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），
所以g（x）=（1+x）⁶+2（1+x）⁷+3（1+x）⁸
g（x）中含x⁶项的系数为1+2×C₇⁶+3C₈⁶=99（4分）
（Ⅲ）设h（x）=（1+x）^m+2（1+x）^m+1+…+n（1+x）^m+n-1（1）
则函数h（x）中含x^m项的系数为C_m^m+2×C_m+1^m+…+nC_m+n-1^m（7分）
（1+x）h（x）=（1+x）^m+1+2（1+x）^m+2++n（1+x）^m+n（2）
（1）-（2）得-xh（x）=（1+x）^m+（1+x）^m+1+（1+x）^m+2++（1+x）^m+n-1-n（1+x）^m+n
x²h（x）=（1+x）^m-（1+x）^m+n+nx（1+x）^m+n
h（x）中含x^m项的系数，即是等式左边含x^m+2项的系数，
等式右边含x^m+2项的系数为-C_m+n^m+2+nC_m+n^m+1

=
所以C_m^m+2×C_m+1^m+…+nC_m+n-1^m=（13分）