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(2003•金华)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点(A点在原点左侧,B点在原点右侧),与y轴交于C点.若AB=4,OB>OA,且OA、OB是方程x2+kx+3=0的两根.(1)请求出A,B两点的坐标;
题目详情
(2003•金华)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点(A点在原点左侧,B点在原点右侧),与y轴交于C点.若AB=4,OB>OA,且OA、OB是方程x2+kx+3=0的两根.
(1)请求出A,B两点的坐标;
(2)若点O到BC的距离为,求此二次函数的解析式;
(3)若点P的横坐标为2,且△PAB的外心为M(1,1),试判断点P是否在(2)中所求的二次函数图象上.
(1)请求出A,B两点的坐标;
(2)若点O到BC的距离为,求此二次函数的解析式;
(3)若点P的横坐标为2,且△PAB的外心为M(1,1),试判断点P是否在(2)中所求的二次函数图象上.
▼优质解答
答案和解析
(1)由于已知OA、OB是方程x2+kx+3=0的两根,故可根据一元二次方程根与系数的关系求出OA、OB的值,再根据A点在原点左侧,B点在原点右侧,OB>OA,可确定A、B的坐标.
(2)设C(0,c),可根据△OBC的面积求出点C的坐标,再用待定系数法求出二次函数的解析式.
(3)先设出P点坐标,根据三角形外心的定义可求出P点坐标,再把其代如(2)中二次函数的解析式,看是否适合即可.
【解析】
(1)由题意可知OA+OB=-K,OA•OB=3,
∵AB=4,即OA+OB=-K=4,k=-4,
故方程x2+kx+3=0可化为x2-4x+3=0,
解得x1=1,x2=3,
即OA=1,OB=3,
∵AB=4,OB>OA,A点在原点左侧,B点在原点右侧,
∴A(-1,0),B(3,0).
(2)设C(0,c),
如图:根据三角形的面积公式可知BC•OD=OB•OC,
即•=3c,
解得c=±3,
故C(0,3)或(0,-3),
设过A、B、C三点的函数解析式为y=ax2+bx+c,
当c>0时,,
解得
,
故二次函数的解析式为y=-x2+3x+3,同理当c=-2时.
二次函数的解析式为y=-x2+2x-3,故过A、B、C三点的
二次函数的解析式为y=-x2+2x+3或y=-x2+2x-3;
(3)设P点坐标为(2,x),由外心的定义可知AE=PE,
即=,
解得y=3,或y=1,
把x=2分别代入二次函数的解析式y=-x2+2x+3和y=-x2+2x-3,
解得y=±3,
故P不在(2)中所求的二次函数图象上.
(2)设C(0,c),可根据△OBC的面积求出点C的坐标,再用待定系数法求出二次函数的解析式.
(3)先设出P点坐标,根据三角形外心的定义可求出P点坐标,再把其代如(2)中二次函数的解析式,看是否适合即可.
【解析】
(1)由题意可知OA+OB=-K,OA•OB=3,
∵AB=4,即OA+OB=-K=4,k=-4,
故方程x2+kx+3=0可化为x2-4x+3=0,
解得x1=1,x2=3,
即OA=1,OB=3,
∵AB=4,OB>OA,A点在原点左侧,B点在原点右侧,
∴A(-1,0),B(3,0).
(2)设C(0,c),
如图:根据三角形的面积公式可知BC•OD=OB•OC,
即•=3c,
解得c=±3,
故C(0,3)或(0,-3),
设过A、B、C三点的函数解析式为y=ax2+bx+c,
当c>0时,,
解得
,
故二次函数的解析式为y=-x2+3x+3,同理当c=-2时.
二次函数的解析式为y=-x2+2x-3,故过A、B、C三点的
二次函数的解析式为y=-x2+2x+3或y=-x2+2x-3;
(3)设P点坐标为(2,x),由外心的定义可知AE=PE,
即=,
解得y=3,或y=1,
把x=2分别代入二次函数的解析式y=-x2+2x+3和y=-x2+2x-3,
解得y=±3,
故P不在(2)中所求的二次函数图象上.
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