某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°

Question

某景区欲建造两条圆形观景步道M₁、M₂（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M₁与AB、AD分别相切于点B、D，圆M₂与AC、AD分别相切于点C、D；

（1）若∠BAD=60°，求圆M₁、M₂的半径（结果精确到0.1米）
（2）若观景步道M₁与M₂的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M₁、M₂的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）

Answer 1

（1）M₁半径=60tan30°≈34.6，M₂半径=60tan15°≈16.1；
（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°-α），
设1+tanα=x，则y=12π•（8x+(18)/(x)-17）≥84π，当且仅当x=(3)/(2)，tanα=(1)/(2)时，取等号，
∴M₁半径30，M₂半径20，造价42.0千元．