单独使用边长相同的正五边形可以围成多面体（足球形状）,需要使用多少个?

Question

单独使用边长相同的正五边形可以围成多面体（足球形状）,需要使用多少个?

Answer 1

12个五边形,20个六边形.
根据是欧拉定理.
对于凸的几何体,有V+F-L=2.
其中V表示顶点数,F表示面数,L表示棱数.
显然,本例中顶点数V=60.
设结构有x个五边形,y个六边形.
则总的面数为x+y.
每个五边形有5条棱边,每个六边形有6条棱边.而每条棱边在几何体中是由两个面公共的.
故总的棱数为(5x+6y)/2.
另外,
每个五边形有5个顶点,每个六边形有6个顶点.而每个顶点在几何体中是由三个面公共的.
故总的顶点数为(5x+6y)/3.
代入总的方程有
[(5x+6y)/3]+(x+y)-[(5x+6y)/2]=2
(5x+6y)/3=60
解得x=12,y=20.
即有12个五边形,20个六边形.