以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作BC的垂线，垂足分别是F、G，线段DG、EF交于点M。求证：AM⊥BC。

Question

以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作BC的垂线，垂足分别是F、G，线段DG、EF交于点M。求证：AM⊥BC。

Answer 1

证明：连结BE、CD交于H，则H为垂心，故AH⊥BC。
设AH⊥BC于O，DG、AH交于M ₁ ，EF、AH交于M ₂ 。下面证M ₁ 、M ₂ 重合。
∵∠DOF=∠DHB=∠EHC=∠EOG
∴Rt△OEG∽Rt△ODF
∴
∴OG·DF=EG·OF
∴
∴OM ₁ ∥DF
∴AM⊥BC