锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a-b）（sinA+sinB）=（c-b）sinC，若a=3，则b2+c2的取值范围是（）A.（5，6]B.（3，5）C.（3，6]D.[5，6]

Question

锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a-b）（sinA+sinB）=（c-b）sinC，若a=

√(3)，则b²+c²的取值范围是（　　）

A. （5，6]

B. （3，5）

C. （3，6]

D. [5，6]

Answer 1

∵（a-b）（sinA+sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理可得：（a-b）（a+b）=（c-b）c，化为b²+c²-a²=bc．
由余弦定理可得：cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(bc)/(2bc)=(1)/(2)，
∴A为锐角，可得A=(π)/(3)，
∵a=√(3)，
∴由正弦定理可得：(b)/(sinB)=(c)/(sin((2π)/(3)-B))=(√(3))/((√(3))/(2))=2，
∴可得：b²+c²=（2sinB）²+[2sin（(2π)/(3)-B）]²=3+2sin²B+√(3)sin2B=4+2sin（2B-(π)/(6)），
∵B∈（(π)/(6)，(π)/(2)），可得：2B-(π)/(6)∈（(π)/(6)，(5π)/(6)），
∴sin（2B-(π)/(6)）∈（(1)/(2)，1]，可得：b²+c²=4+2sin（2B-(π)/(6)）∈（5，6]．
故选：A．