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在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为A(-1,0)B(1,0),平面内两点G,M同时满足下列条件:①++=;②||=||=||;③∥.(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程;(2)过点P(3,0
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在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为A(-1,0)B(1,0),平面内两点G,M同时满足下列条件:①++=;②||=||=||;③∥.
(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程;
(2)过点P(3,0)的直线l与(1)中轨迹交于不同的两点E,F,求△OEF面积的最大值.
(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程;
(2)过点P(3,0)的直线l与(1)中轨迹交于不同的两点E,F,求△OEF面积的最大值.
▼优质解答
答案和解析
【答案】分析:(1)分别设出点C、G、M的坐标,利用条件||=||求出M的横坐标,结合∥可得G和M的纵坐标相等,然后利用把G和M的坐标用C的坐标表示,代入||=||即可得到C的轨迹方程;(2)设出直线l的方程,和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程,利用根与系数关系得到E、F两点的横坐标的和与积,写出面积后得到关于直线斜率k的表达式,利用换元法降幂,然后利用导数求最值.(1)设C(x,y),G(x,y),M(xM,yM).∵,∴M点在线段AB的中垂线上.由已知A(-1,0),B(1,0),∴xM=0.又∵,∴yM=y.又,∴(-1-x,-y)+(1-x,-y)+(x-x,y-y)=(0,0)∴,∴. ∵|MB|=|MC|,∴,∴(y≠0),∴顶点C轨迹方程为(y≠0).(2)设直线l方程为:y=k(x-3)(k≠0),E(x1,y1),F(x2,y2),由,消去y得:(k2+3)x2-6k2x+9k2-3=0 ①∴,. 由方程①知△=(6k2)2-4(k2+3)(9k2-3)>0,∴k2<,∵k≠0,∴0<k2<. 而==.令k2=t,则,.记,求导后可得当时△OEF面积有最大值为.点评:本题考查了向量在几何中的应用,是直线与圆锥曲线的综合题,训练了“设而不求”的解题思想方法,训练了换元法,考查了导数在求最值中的作用,该题涉及条件多,解答的关键是找准入手点,是有一定难度题目.
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