三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=3，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.5πB.2πC.20πD.4π

Question

三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=√(3)，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）
A. 5π
B. √(2)π
C. 20π
D. 4π

Answer 1

取PC的中点O，连结OA、OB
∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴PA⊥AC，可得Rt△APC中，中线OA=(1)/(2)PC
又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA、AB是平PSAB内的相交直线
∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB
因此Rt△BSC中，中线OB=(1)/(2)PC
∴O是三棱锥P-ABC的外接球心，
∵Rt△PCA中，AC=√(2)，PA=√(3)
∴PC=√(5)，可得外接球半径R=(1)/(2)PC=(√(5))/(2)
∴外接球的表面积S=4πR²=5π
故选A．