已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC=120°，AD的中点M是顶点P的底面ABCD的射影，N是PC的中点．（Ⅰ）求证：平面MPB⊥平面PBC；（Ⅱ）若MP=MC，求直线BN与平面PMC所成角的正弦值．

Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC=120°，AD的中点M是顶点P的底面ABCD的射影，N是PC的中点．

（Ⅰ）求证：平面MPB⊥平面PBC；
（Ⅱ）若MP=MC，求直线BN与平面PMC所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，设AB=2a，M是AD的中点，
MB²=AM²+AB²-2AM•AB•cos60°=3a²，MC²=DM²+DC²-2DM•DC•cos120°=7a²．
又∵BC²=4a²，∴MB²+BC²=MC²，∴MB⊥BC，
又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点，∴PM⊥平面ABCD，
又∵BC⊂平面ABCD，∴PM⊥BC，
而PM∩MB=M，PM，MB⊂平面PMB，∴BC⊥平面PMB，
又BC⊂平面PBC，∴平面MPB⊥平面PBC．
（Ⅱ） 过B作BH⊥MC，连接HN，
∵PM⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BH⊥PM，
又∵PM，MC⊂平面PMC，PM∩MC=M，∴BH⊥平面PMC，
∴HN为直线BN在平面PMC上的射影，
故∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角，
在△MBC中，BH=(2a•√(3)a)/(√(7)a)=(2√(21))/(7)a
由（Ⅰ）知BC⊥平面PMB，PB⊂平面PMB，∴PB⊥BC．
BN=(1)/(2)PC=(√(14))/(2)a，
∴sin∠BNH=(BH)/(BN)=((2√(21))/(7)a)/((√(14))/(2)a)=(2√(6))/(7)．