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已知:三角形ABC内接于⊙O,过点A作直线EF.(1)如图(1),AB为直径,要使得EF是⊙O的切线,只需保证∠CAE=∠,并证明之;(2)如图(2),AB为⊙O非直径的弦,(1)中你所添出的条
题目详情
已知:三角形ABC内接于⊙O,过点A作直线EF.
(1)如图(1),AB为直径,要使得EF是⊙O的切线,只需保证∠CAE=∠______,并证明之;
(2)如图(2),AB为⊙O非直径的弦,(1)中你所添出的条件仍成立的话,EF还是⊙O的切线吗?若是,写出证明过程;若不是,请说明理由并与同学交流.
(1)如图(1),AB为直径,要使得EF是⊙O的切线,只需保证∠CAE=∠______,并证明之;
(2)如图(2),AB为⊙O非直径的弦,(1)中你所添出的条件仍成立的话,EF还是⊙O的切线吗?若是,写出证明过程;若不是,请说明理由并与同学交流.
▼优质解答
答案和解析
(1)保证∠CAE=∠ABC;
证明:∵AB为⊙O直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠BAC+∠ABC=90°.
若∠CAE=∠ABC.
∴∠BAC+∠CAE=90°,
即∠BAE=90°,OA⊥AE.
∴EF为⊙O的切线.
(2)EF还是⊙O的切线.
证明:连接AO并延长交⊙O于点D,连接CD,如图,
∴∠ADC=∠ABC.
∵AD为⊙O的直径,
∴∠DAC+∠ADC=90°.
∵∠CAE=∠ABC=∠ADC,
∴∠DAC+∠CAE=90°.
∴∠DAE=90°,
即OA⊥EF
所以EF为⊙O的切线.
证明:∵AB为⊙O直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠BAC+∠ABC=90°.
若∠CAE=∠ABC.
∴∠BAC+∠CAE=90°,
即∠BAE=90°,OA⊥AE.
∴EF为⊙O的切线.
(2)EF还是⊙O的切线.
证明:连接AO并延长交⊙O于点D,连接CD,如图,
∴∠ADC=∠ABC.
∵AD为⊙O的直径,
∴∠DAC+∠ADC=90°.
∵∠CAE=∠ABC=∠ADC,
∴∠DAC+∠CAE=90°.
∴∠DAE=90°,
即OA⊥EF
所以EF为⊙O的切线.
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