如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，给出以下结论：①异面直线A1B1与CD1所成的角为45°；②D1C⊥AC1；③在棱DC上存在一点E，使D1E∥

Question

如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，给出以下结论：
①异面直线A₁B₁与CD₁所成的角为45°；
②D₁C⊥AC₁；
③在棱DC上存在一点E，使D₁E∥平面A₁BD，这个点为DC的中点；
④在棱AA₁上不存在点F，使三棱锥F-BCD的体积为直 四棱柱体积的 (1)/(5)．
其中正确的有___．

Answer 1

①由题意可知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，所以△DD₁C₁是等腰直角三角形，A₁B₁∥C₁D₁，异面直线A₁B₁与CD₁所成的角为45°，所以①正确．
②由题意可知，AD⊥平面DD₁C₁C，四边形DD₁C₁C是正方形，所以D₁C⊥DC₁，
可得D₁C⊥AC₁；所以②正确；

③在棱DC上存在一点E，使D₁E∥平面A₁BD，这个点为DC的中点，因为：
DC=DD₁=2AD=2AB，如图HG∥D₁E且HG=(1)/(2)D₁E，所以E为中点，所以③正确．
④设AB=1，则棱柱的体积为：(1)/(2) （1+2）×1×1=(3)/(2)，
当F在A₁时，A₁-BCD的体积为：(1)/(3)×(1)/(2)×1×2×1=(1)/(3)，
显然体积比为(2)/(9)>(1)/(5)，
所以在棱AA₁上存在点F，使三棱锥F-BCD的体积为直四棱柱体积的(1)/(5)，所以④不正确．
正确结果有①②③．
故答案为：①②③．