证明：当0＜α＜β＜π/2时,不等式α-β/cos的平方α＜tanβ-tanα＜β-α/cos的平方β成立

Question

证明：当0＜α＜β＜π/2时,不等式α-β/cos的平方α＜tanβ-tanα＜β-α /cos的平方β成立

Answer 1

证明：1.欲证 α-β/（cosα）^2＜tanβ-tanα 只需证：
tanβ（cosα）^2-sinαcosα > α-β
由0＜α＜β＜π/2得：cosα>cosβ
所以tanβ（cosα）^2=sinβ(cosα)^2/cosβ >sinβcosα
则tanβ（cosα）^2-sinαcosα
> sinβcosα-sinαcosα
=(sinβ-sinα)cosα
>sinβ-sinα
那么只需证：sinβ-sinα > α-β 变形得：sinβ+β > sinα+α
构造函数f(x)=sinx+x,(0＜x＜π/2)求导得 f'(x)=cosx+1>0 即f(x)为增函数
由于 0＜α＜β＜π/2 ,所以 f(β)>f(α),则sinβ+β > sinα+α成立
则sinβ-sinα > α-β成立
所以tanβ（cosα）^2-sinαcosα
> sinβcosα-sinαcosα
=(sinβ-sinα)cosα
>sinβ-sinα
> α-β 成立
所以α-β/（cosα）^2＜tanβ-tanα成立.
2.欲证tanβ-tanα＜β-α /（cosβ）^2成立 只需证：
sinβcosβ-sinα(cosβ)^2/cosα < β-α 即证：
cosβ(sinβcosα-sinαcosβ) < (β-α)cosα 成立
即证：cosβsin(β-α) < (β-α)cosα
(1)由0＜α＜β＜π/2得：cosα>cosβ > 0
(2)构造函数g(x)=sin(x)-x ,(-π/2＜x＜π/2) 求导得g'(x)=cosx-1