已知a是实数,函数f(x)=2ax^2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围a≤-[3+√7]/2或a≥1

Question

已知a是实数,函数f(x)=2ax^2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围
a≤-[3+√7]/2或a≥1

Answer 1

y=f（x）在区间[-1,1]上有零点转化为（2x2-1）a=3-2x在[-1,1]上有解,把a用x表示出来,转化为求函数 y=2x2-13-2x在[-1,1]上的值域,再用分离常数法求函数 y=2x2-13-2x在[-1,1]的值域即可．
a=0时,不符合题意,所以a≠0,
又∴f（x）=2ax2+2x-3-a=0在[-1,1]上有解,⇔（2x2-1）a=3-2x在[-1,1]上有解 ⇔1a=2x2-13-2x
在[-1,1]上有解,问题转化为求函数 y=2x2-13-2x[-1,1]上的值域；
设t=3-2x,x∈[-1,1],则2x=3-t,t∈[1,5],y=12•(t-3)2-2t=12(t+7t-6),
设 g(t)=t+7t．g′(t)=t2-7t2,t∈[1,7)时,g'（t）＜0,此函数g（t）单调递减,
t∈(7,5]时,g'（t）＞0,此函数g（t）单调递增,
∴y的取值范围是 [7-3,1],
∴f（x）=2ax2+2x-3-a=0在[-1,1]上有解ó 1a∈ [7-3,1]⇔a≥1或 a≤-3+72．
故a≥1或a≤- 3+72．