已知函数f（x）=lnx-ax2+ax有两个零点，则实数a的取值范围为．

Question

已知函数f（x）=lnx-ax²+ax有两个零点，则实数a的取值范围为___．

Answer 1

函数f（x）的定义域为（0，+∞），由题知方程 lnx-ax²+ax=0，即方程(lnx)/(x)=a（x-1）恰有两解．
设g（x）=(lnx)/(x)，则g'（x）=(1-lnx)/(x2)，
∴当0<x<e时，g'（x）>0，当x>e时，g'（x）<0，
∴g（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，且g（1）=0，
作出函数y=g（x）与函数y=a（x-1）的图象如下图所示：

∵当x>e时，g（x）>0，且g'（1）=1，
∴g（x）在（1，0）处的切线方程为y=x-1，
∴当0<a<1或a>1时，函数y=g（x）的图象与函数y=a（x-1）的图象恰有2个交点．
故答案为：a>0且a≠1．