如图，在四边形ABCD中，∠A=30°，∠C=90°，∠ADB=105°，sin∠BDC=32，AD=4．则DC的长=．

Question

如图，在四边形ABCD中，∠A=30°，∠C=90°，∠ADB=105°，sin∠BDC=(√(3))/(2)，AD=4．则DC的长=___．

Answer 1

作DH⊥AB于H，如图，
∵∠A=30°，
∴∠ADB=60°，DH=(1)/(2)AD=2，
∵∠ADB=105°，
∴∠BDH=45°，
∴△BDH为等腰直角三角形，
∴BD=√(2)DH=2√(2)，
在Rt△BCD中，∵sin∠BDC=(BC)/(BD)=(√(3))/(2)，
∴BC=2√(2)×(√(3))/(2)=√(6)，
∴CD=√(BD2-BC2)=√(2)．
故答案为√(2)．