如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．

Question

如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：

（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．

Answer 1

∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴(1)/(2)AB•AC=(1)/(2)BC•AD，
∴AD=(AB•AC)/(BC)=(6×8)/(10)=4.8（cm），即AD的长度为4.8cm；

（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，
∴S_△ABC=(1)/(2)AB•AC=(1)/(2)×6×8=24（cm²）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∴(1)/(2)BE•AD=(1)/(2)EC•AD，即S_△ABE=S_△AEC，
∴S_△ABE=(1)/(2)S_△ABC=12（cm²）．
∴△ABE的面积是12cm²．

（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE）=AC-AB=8-6=2（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．