1234567891011……一直到2014除以九的余数

Question

1234567891011……一直到2014除以九的余数

Answer 1

判断一个数除以9的余数,等于它所有数位上数字之和除以9的余数.
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为了排版方便,下面选取一个五位数来证明,任意多位数用10^n符号即可,方法一样.
abcde
=10000a+1000b+100c+10d+e
=9999a+999b+99c+9d+(a+b+c+d+e)
注意到,9999a+999b+99c+9d是9的倍数,不影响除以9的余数.
证毕.
下面证明一个更为简单的方法.
判断一个数除以9的余数,可先将它任意分段,这个余数等于任意分段后所有段的数之和除以9的余数.
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证明：
我们仍然选取一个五位数,任意分段.不妨分为2、1、2.
abcde
=ab,c,de
=1000ab+100c+de
=999ab+99c+(ab+c+de)
注意到,999ab+99c是9的倍数,不影响除以9的余数.
其它分法也一样
证毕.
下面开始做题.
将1234……20132014作如下分段：
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、……、2013、2014
于是
1+2+3+……+2014
=（1+2014）×2014÷2
=2015×1007
=2029105
也就是说,1234……20132014÷9的余数等于2029105÷9的余数,
再次使用求和的方法：
2029105÷9的余数相当于
2+0+2+9+1+0+5=19除以9的余数,
而19÷9=2……1
因而答案即为1.
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