如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为，若直线AC与BD的斜率之积为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．

Question

如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为  ，若直线AC与BD的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为（  ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

C

试题分析：【方法一】由于内层椭圆和外层椭圆的离心率相等，不妨设外层椭圆的方程为 ，设切线 的方程为 ，则 ，
消去 得 ，
由 ，
化简得 ，
同理可得 ， ，
因此 ，所以 ，因此 ，
故椭圆的离心率为 .故选C.
【方法二】椭圆 在其上一点 处的切点方程为 ，
设 ， ，由于内外两个椭圆的离心率相同，则可设外层椭圆的方程为 ，则 ，内层椭圆在点C处的切线方程为 ，而AC的方程为 ，其斜率为 ，同理直线BD的方程为 ，其斜率为 ，
∴   ①，
直线AC过点 ，则有 ，
直线BD过点 ，则有 ，∴ ，
∴ ，∴ ，设 ， ，
不妨设点C为第一象限内的点，则点D为第二象限内的点，则 为锐角， 为钝角，
则 ，∴ ，则 为锐角，∴ ，
∴ ，∴ ，由①式得，

作业帮用户 2016-11-21

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