如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=3．点E在线段BA上从B点以每秒1个单位的速度出发向A点运动，F是射线CD上一动点，在点E、F运动的过程中始终保持EF=5，且CF＞BE，点P是EF的中点，连接AP．设点E运动时

Question

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=3．点E在线段BA上从B点以每秒1个单位的速度出发向A点运动，F是射线CD上一动点，在点E、F运动的过程中始终保持EF=5，且CF＞BE，点P是EF的中点，连接AP．设点E运动时间为ts．

（1）在点E运动过程中，AP的长度是如何变化的？______
A．一直变短     B．一直变长    C．先变长后变短    D．先变短后变长
（2）在点E、F运动的过程中，AP的长度存在一个最小值，当AP的长度取得最小值时，点P的位置应该在______．
（3）以P为圆心作⊙P，当⊙P与矩形ABCD三边所在直线都相切时，求出此时t的值，并指出此时⊙P的半径长．．

Answer 1

（1）在点E运动过程中，AP的长度存在一个最小值，即当P为AD中点时，AP最短，
则AP的长度是先变短后变长；
（2）在点E、F运动的过程中，AP的长度存在一个最小值，当AP的长度取得最小值时，如图所示，
∵P为EF的中点，∴EP=FP，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠PDF=90°，
在△AEP和△DFP中，

∠A＝∠PDF＝90°

∠APE＝∠DPF

EP＝FP

，
∴△AEP≌△DFP（AAS），
∴AP=DP，
则此时P为AD的中点；
（3）如图3，当⊙P在矩形ABCD内分别与AB、AD、CD相切于点Q、R、N时，
连接PQ、PR、PN，则PQ⊥AB、PR⊥AD、PN⊥CD，
则四边形AQPR与四边形RPND为两个全等的正方形，
则PQ=AQ=AR=DR=(1)/(2)AD=(3)/(2)，
在Rt△PQE中，EP=(5)/(2)，由勾股定理可得：EQ=2，
则BE=BA-EQ-AQ=6-2-(3)/(2)=(5)/(2)，
解得t=(5)/(2)．
此时⊙P的半径为(3)/(2)；
如图4，当⊙P在矩形ABCD外分别与射线BA、AD、射线CD相切于点Q、R、N时，
类比图3可得，EQ=2，AQ=(3)/(2)，
∴BE=BA+AQ-EQ=6+(3)/(2)-2=(11)/(2)，
∴t=(11)/(2)，此时⊙P的半径为(3)/(2)．
故答案为：（1）D；（2）AD的中点