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如图,点O是等边△ABC内一点.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.已知∠AOB=110°.(1)求证:△COD是等边三角形;(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;(3)探
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如图,点O是等边△ABC内一点.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.已知∠AOB=110°.
(1)求证:△COD是等边三角形;
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形.
(1)求证:△COD是等边三角形;
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵CO=CD,∠OCD=60°,
∴△COD是等边三角形;(3分)
(2)当α=150°,即∠BOC=150°时,△AOD是直角三角形.(5分)
∵△BOC≌△ADC,
∴∠ADC=∠BOC=150°,
又∵△COD是等边三角形,
∴∠ODC=60°,
∴∠ADO=90°,
即△AOD是直角三角形;(7分)
(3)①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO.
∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α,∠ADO=α-60°,
∴190°-α=α-60°
∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO.
∵∠AOD=190°-α,∠ADO=α-60°,
∵∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=50°,
∴α-60°=50°
∴α=110°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD.
∵190°-α=50°
∴α=140°.
综上所述:当α的度数为125°,或110°,或140°时,△AOD是等腰三角形.(12分)
说明:第(3)小题考生答对1种得(2分),答对2种得(4分).
∴△COD是等边三角形;(3分)
(2)当α=150°,即∠BOC=150°时,△AOD是直角三角形.(5分)
∵△BOC≌△ADC,
∴∠ADC=∠BOC=150°,
又∵△COD是等边三角形,
∴∠ODC=60°,
∴∠ADO=90°,
即△AOD是直角三角形;(7分)
(3)①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO.
∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α,∠ADO=α-60°,
∴190°-α=α-60°
∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO.
∵∠AOD=190°-α,∠ADO=α-60°,
∵∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=50°,
∴α-60°=50°
∴α=110°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD.
∵190°-α=50°
∴α=140°.
综上所述:当α的度数为125°,或110°,或140°时,△AOD是等腰三角形.(12分)
说明:第(3)小题考生答对1种得(2分),答对2种得(4分).
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