如图，P为O的直径AB上一点，M、N在半圆AB上，且∠APM=∠NPB，若OP=2cm，AB=10cm，∠NPB=30°，求PN+PM的值．

Question

如图，P为 O的直径AB上一点，M、N在半圆

AB

上，且∠APM=∠NPB，若OP=2cm，AB=10cm，∠NPB=30°，求PN+PM的值．

Answer 1

延长NP交 O于Q，作OH⊥NQ于H，连结MQ，ON，如图，
∵∠APM=∠NPB，
而∠APQ=∠NPB，
∴∠APM=∠APQ，
∴点M与点Q关于AB对称，
∴PM=PQ，
∴PN+PM=PQ+PN=NQ，
在Rt△OPH中，∵OP=2，∠OPH=30°，
∴OH=1，
在Rt△OHN中，∵OH=1，ON=5，
∴NH=√(ON2-OH2)=2√(6)，
∵OH⊥NQ，
∴NH=QN，
∴NQ=2NH=4√(6)，
∴PN+PM的值为4√(6)．