如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（6，0），（0，2），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-12x+m交折线OAB于点E．（1）若直线y=-12x+m经过点A，请直接写

Question

如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（6，0），（0，2），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-(1)/(2)x+m交折线OAB于点E．
（1）若直线y=-(1)/(2)x+m经过点A，请直接写出m的值；
（2）记△ODE的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，试探究四边形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否分随着E点位置的变化而变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

Answer 1

（1）把点A（6，0）代入y=-(1)/(2)x+m．得
0=-(1)/(2)×6+m，
解得m=3；

（2）由题意得B（6，2）．
若直线经过点A（6，0）时，则m=3，
若直线经过点B（6，2）时，则m=5；
若直线经过点C（0，2）时，则m=2
当点E在OA上时，2<m≤3，
如图1，此时E（2m，0），则S=(1)/(2)OE•CO=2m
当点E在BA上时，3<m<5，
如图2，此时E（6，m-3），D（2m-4，2）
∴S=S_矩形OABC-（S_△OCD+S_△DBE+S_△OAE）
=OA•OC-（(1)/(2)CD•OC+(1)/(2)BD•BE+(1)/(2)OA•AE）
=12-[(1)/(2)（2m-4）×2+(1)/(2)×（10-2m）（5-m）+(1)/(2)×6×（m-3）]
=5m-m²
综上所述，S=

2m(2<m≤3)

5m-m2(3<m<5)

；

（3）如图3，设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，
则矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形．
根据轴对称知，∠MED=∠NED
又∵由DM∥NE可知∠MDE=∠NED
∴∠MED=∠MDE
∴MD=ME
∴平行四边形DNEM为菱形，
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
设菱形DNEM的边长为a，
则在Rt△DHN中，DH=2
∵HE=OE-OH=[2m-（2m-4）]=4
∴HN=HE-NE=4-a
由勾股定理得：（4-a）2+22=a2
解得a=(5)/(2)，
∴S_{四边形DNEM}=NE•DH=5
∴矩形OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积不会随着点E位置的变化而变化，面积始终为5．