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已知如图:二次函数y=x2-2x-3,根据图象回答下列问题:(1)设函数图象与x轴交于A、B两点(A在B的左边),与y轴交于点C,求△ABC的面积.(2)在抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PC最小,求
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已知如图:二次函数y=x2-2x-3,根据图象回答下列问题:
(1)设函数图象与x轴交于A、B两点(A在B的左边),与y轴交于点C,求△ABC的面积.
(2)在抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PC最小,求出点P的坐标.
(3)若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形,使得正方形的一边在x轴上,其对边的两个端点在抛物线上,试求出这个最大正方形的边长.
(4)翻折x轴下方的图象,在形成的新图象中,当直线y=x+b与新图象有三个交点时,则b的值为___.
(1)设函数图象与x轴交于A、B两点(A在B的左边),与y轴交于点C,求△ABC的面积.
(2)在抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PC最小,求出点P的坐标.
(3)若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形,使得正方形的一边在x轴上,其对边的两个端点在抛物线上,试求出这个最大正方形的边长.
(4)翻折x轴下方的图象,在形成的新图象中,当直线y=x+b与新图象有三个交点时,则b的值为___.
▼优质解答
答案和解析
如图1所示:
∵令x=0,得y=-3,
∴OC=3.
∵令y=0得:x2-2x-3=0,解得:x1=3,x2=-1,
∴A(-1,0)、B(3,0).
∴AB=4.
∴△ABC的面积=
AB•OC=
×4×3=6.
(2)如图2所示:连接BC,交抛物线的对称轴与点P,连接AP.
∵x=-
,
∴抛物线的对称轴为x=1.
∵点A与点B关于x=1对称,
∴PA=PB.
∴PA+PC=PB+PC.
当点C、P、B在一条直线上时,PA+PC有最小值.
设BC的解析式为y=kx+b,将点B、C的坐标代入得:
解得:k=1,b=-3.
∴直线BC的解析式为y=x-3.
将x=1代入得:y=1-3=-2.
∴P(1,-2).
(3)如图所示:
设点C′的坐标为(x,x2-2x-3).
∵点C′与D′关于x=1对称,
∴点D′的横坐标为2-x.
∴C′D′=2-2x.
∵四边形A′B′D′C′是正方形,
∴A′C′=C′D′.
∴2-2x=-(x2-2x-3).
解得:x1=2-
,x2=2+
(舍去),
∴C′D′=
.
∴正方形的面积为5.
(4)如图4所示,当直线y=x+b经过点A时.
将A(-1,0)代入直线的解析式得:-1+b=0,解得:b=1.
如图5所示:
设经过点A、B、C′的抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),将点C′的坐标代入得:-3a=3,解得a=-1.
∵a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
将y=-x2+2x+3与y=x+b联立得:-x2+2x+3=x+b.
∵直线y=x+b与抛物线y=-x2+2x+3有一个公共点,
∴方程x2-x+b-3=0判别式为0.
∴12-4×1×(b-3)=0.
解得:b=
.
综上所述,当b=1或b=
时,直线y=x+b与先函数图象有3个交点.
故答案为:1或
.
∵令x=0,得y=-3,
∴OC=3.
∵令y=0得:x2-2x-3=0,解得:x1=3,x2=-1,
∴A(-1,0)、B(3,0).
∴AB=4.
∴△ABC的面积=
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)如图2所示:连接BC,交抛物线的对称轴与点P,连接AP.
∵x=-
b |
2a |
∴抛物线的对称轴为x=1.
∵点A与点B关于x=1对称,
∴PA=PB.
∴PA+PC=PB+PC.
当点C、P、B在一条直线上时,PA+PC有最小值.
设BC的解析式为y=kx+b,将点B、C的坐标代入得:
|
解得:k=1,b=-3.
∴直线BC的解析式为y=x-3.
将x=1代入得:y=1-3=-2.
∴P(1,-2).
(3)如图所示:
设点C′的坐标为(x,x2-2x-3).
∵点C′与D′关于x=1对称,
∴点D′的横坐标为2-x.
∴C′D′=2-2x.
∵四边形A′B′D′C′是正方形,
∴A′C′=C′D′.
∴2-2x=-(x2-2x-3).
解得:x1=2-
5 |
5 |
∴C′D′=
5 |
∴正方形的面积为5.
(4)如图4所示,当直线y=x+b经过点A时.
将A(-1,0)代入直线的解析式得:-1+b=0,解得:b=1.
如图5所示:
设经过点A、B、C′的抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),将点C′的坐标代入得:-3a=3,解得a=-1.
∵a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
将y=-x2+2x+3与y=x+b联立得:-x2+2x+3=x+b.
∵直线y=x+b与抛物线y=-x2+2x+3有一个公共点,
∴方程x2-x+b-3=0判别式为0.
∴12-4×1×(b-3)=0.
解得:b=
13 |
4 |
综上所述,当b=1或b=
13 |
4 |
故答案为:1或
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