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在1,2,3,…,90,91这91个自然数中,任取k个数,使得其中必有两个自然数p、q满足23≤qp≤32,试确定自然数k的最小值并说明理由.
题目详情
在1,2,3,…,90,91这91个自然数中,任取k个数,使得其中必有两个自然数p、q满足
≤
≤
,试确定自然数k的最小值并说明理由.
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3 |
q |
p |
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2 |
▼优质解答
答案和解析
将1~91这91个自然数分为9组:
A1={1},A2={2,3},A3={4,5,6},A4={7,8,9,10},
A5={11,12,13,14,15,16},A6={17,18,19,25},
A7={26,27,28,39},A8={40,41,42,60},
A9={61,62,63,91}.
其中A1中的1满足
≤1≤
,其他各组中任意两个自然数的比值均不小于
且不大于
.
若从这91个数中取9个数,如上列9组中的最后一个1,3,6,
10,16,25,39,60,91,这9个数中任意二数之比均小于
或大于
,这说明当k取9时,不一定能满足所要求的条件,∴k≥10.
当k=10时,在1~19这91个自然数中任取10个数,这10个数可以安排到A1~A9各组中去,由于是10个数,而只有9个组,根据抽屉原则,必有两个数属于同一个Ai,这两个数就是p、q,若p<q,则
≤
≤
成立.
∴k是最小值是10.
A1={1},A2={2,3},A3={4,5,6},A4={7,8,9,10},
A5={11,12,13,14,15,16},A6={17,18,19,25},
A7={26,27,28,39},A8={40,41,42,60},
A9={61,62,63,91}.
其中A1中的1满足
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3 |
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若从这91个数中取9个数,如上列9组中的最后一个1,3,6,
10,16,25,39,60,91,这9个数中任意二数之比均小于
2 |
3 |
3 |
2 |
当k=10时,在1~19这91个自然数中任取10个数,这10个数可以安排到A1~A9各组中去,由于是10个数,而只有9个组,根据抽屉原则,必有两个数属于同一个Ai,这两个数就是p、q,若p<q,则
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q |
p |
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∴k是最小值是10.
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