求积分∫(-π,π)(x+π)/(x^2+π^2)我是令x=πtant算的,不过计算起来比较麻烦书上写出这个式子直接就写出结果了,我想问问还有什么比较方便的法子吗?

Question

求积分 ∫(-π,π) (x+π)/(x^2+π^2)
我是令x=πtant算的,不过计算起来比较麻烦
书上写出这个式子直接就写出结果了,我想问问还有什么比较方便的法子吗?

Answer 1

这个不是可以直接计算吗?
公式：∫ 1/(x²+a²) dx = (1/a)arctan(x/a) + C
原式=∫[-π→π] x/(x²+π²) dx + ∫[-π→π] π/(x²+π²) dx
前一个积分被积函数为奇函数,结果是0
=π∫[-π→π] 1/(x²+π²) dx
=2π∫[0→π] 1/(x²+π²) dx
=2arctan(x/π) |[0→π]
=π/2
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