若m的平方-m-1=0,n的平方-n-1=0,且m≠n,求n的5次方+n的5次方

Question

若m的平方-m-1=0,n的平方-n-1=0,且m≠n,求n的5次方+n的5次方

Answer 1

m的平方-m-1=0,n的平方-n-1=0,且m≠n
所以
m,n是方程x²-x-1=0的两个不同的实数根
即
m+n=1
mn=-1
所以
m²+n²=(m+n)²-2mn=1+2=3
m³+n³=(m+n)³-3mn(m+n)=1+3=4
(m²+n²)²=m的4次方+n的4次方+2m²n²
m的4次方+n的4次方=3²-2=7
即
n的5次方+n的5次方=(m的4次方+n的4次方)(m+n)-m的4次方n-n的4次方m
=7-mn(m³+n³)
=7+4
=11