如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）求证：BD=CE；（2）如图2，若BD的中点为P，CE的中点为Q，请判断△APQ的形状，并说明理由．

Question

如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）求证：BD=CE；
（2）如图2，若BD的中点为P，CE的中点为Q，请判断△APQ的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，

AB=AC

∠BAD=∠CAE

AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；

（2）△APQ是等边三角形．
理由：∵P是BD中点，Q是CE中点，BD=CE，
∴BP=CQ．
由（1）可得，△ABD≌△ACE，
∴∠ABP=∠ACQ，
在△ABP与△ACQ中，

AB=AC

∠ABP=∠ACQ

BP=CQ

，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，
∴∠BAP+∠CAP=∠CAQ+∠CAP，
∴∠PAQ=∠BAC=60°，
∴△APQ是等边三角形．