如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O．DE⊥AB于点E．连接OE．（1）求证：∠OED=∠ACD；（2）若AC=8，DB=6，求DH的长．

Question

如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O．DE⊥AB于点E．连接OE．

（1）求证：∠OED=∠ACD；
（2）若AC=8，DB=6，求DH的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=CD，
∴∠DAC=∠ACD，
∵DE⊥AB，
∴∠AOD=∠AED=90°，
∴点A，E，O，D共圆，
∵∠OED=∠CAD，
∴∠OED=∠ACD；

（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，
∴OA=(1)/(2)AC=4，OB=(1)/(2)DB=3，
∴AB=√(OA2+OB2)=5，
∵S_菱形ABCD=(1)/(2)AC•BD=AB•DE，
∴DE=((1)/(2)AC•BD)/(AB)=(24)/(5)；
∴AE=√(AD2-DE2)=(7)/(5)，
∵∠AEH=∠AOB=90°，∠EAH=∠OAB，
∴△AEH∽△AOB，
∴AE：AO=EH：OB，
∴(7)/(5)：4=EH：3，
解得：EH=(21)/(20)，
∴DH=DE-EH=(15)/(4)．