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(2012•沙坪坝区模拟)如图,▱ABCD中,E是BC边的中点,连接AE,F为CD边上一点,且满足∠DFA=2∠BAE.(1)若∠D=105°,∠DAF=35°.求∠FAE的度数;(2)求证:AF=CD+CF.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/79f0f736afc37931c76f9aabe8c4b74543a91128.jpg)
(1)若∠D=105°,∠DAF=35°.求∠FAE的度数;
(2)求证:AF=CD+CF.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵∠D=105°,∠DAF=35°,
∴∠DFA=180°-∠D-∠DAF=40°(三角形内角和定理).
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD(平行四边形对边平行且相等).
∴∠DFA=∠FAB=40°(两直线平行,内错角相等);
∵∠DFA=2∠BAE(已知),
∴∠FAB=2∠BAE(等量代换).
即∠FAE+∠BAE=2∠BAE.
∴∠FAE=∠BAE;
∴2∠FAE=40°,
∴∠FAE=20°;
(2)证明:在AF上截取AG=AB,连接EG,CG.
∵∠FAE=∠BAE,AE=AE,
∴△AEG≌△AEB.
∴EG=BE,∠B=∠AGE;
又∵E为BC中点,∴CE=BE.
∴EG=EC,∴∠EGC=∠ECG;
∵AB∥CD,∴∠B+∠BCD=180°.
又∵∠AGE+∠EGF=180°,∠AGE=∠B,
∴∠BCF=∠EGF;
又∵∠EGC=∠ECG,
∴∠FGC=∠FCG,∴FG=FC;
又∵AG=AB,AB=CD,
∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/caef76094b36acaf64c08a7e7fd98d1001e99c0b.jpg)
∴∠DFA=180°-∠D-∠DAF=40°(三角形内角和定理).
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD(平行四边形对边平行且相等).
∴∠DFA=∠FAB=40°(两直线平行,内错角相等);
∵∠DFA=2∠BAE(已知),
∴∠FAB=2∠BAE(等量代换).
即∠FAE+∠BAE=2∠BAE.
∴∠FAE=∠BAE;
∴2∠FAE=40°,
∴∠FAE=20°;
(2)证明:在AF上截取AG=AB,连接EG,CG.
∵∠FAE=∠BAE,AE=AE,
∴△AEG≌△AEB.
∴EG=BE,∠B=∠AGE;
又∵E为BC中点,∴CE=BE.
∴EG=EC,∴∠EGC=∠ECG;
∵AB∥CD,∴∠B+∠BCD=180°.
又∵∠AGE+∠EGF=180°,∠AGE=∠B,
∴∠BCF=∠EGF;
又∵∠EGC=∠ECG,
∴∠FGC=∠FCG,∴FG=FC;
又∵AG=AB,AB=CD,
∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC.
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