如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=5-12，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．

Question

如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=(√(5)-1)/(2)，在AC边上截取AD=BC，连接BD．

（1）通过计算，判断AD²与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．

Answer 1

（1）∵AD=BC，BC=(√(5)-1)/(2)，
∴AD=(√(5)-1)/(2)，DC=1-(√(5)-1)/(2)=(3-√(5))/(2)．
∴AD²=(5+1-2√(5))/(4)=(3-√(5))/(2)，AC•CD=1×(3-√(5))/(2)=(3-√(5))/(2)．
∴AD²=AC•CD．
（2）∵AD=BC，AD²=AC•CD，
∴BC²=AC•CD，即(BC)/(AC)=(CD)/(BC)．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴(AB)/(AC)=(BD)/(CB)=1，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°．
解得：x=36°．
∴∠ABD=36°．