（2014•绵阳三模）已知f（x）=|x|ex（x∈R），若关于x的方程f2（x）-tf（x）+t-1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（）A．（1e，2）∪（2，e）B．（1e，1）C．（1，1e+1）D．

Question

（2014•绵阳三模）已知f（x）=(|x|)/(ex)（x∈R），若关于x的方程f²（x）-tf（x）+t-1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（　　）

A．（(1)/(e)，2）∪（2，e）
B．（(1)/(e)，1）
C．（1，(1)/(e)+1）
D．（(1)/(e)，e）

Answer 1

化简可得f（x）=(|x|)/(ex)=

(x)/(ex)，x≥0

−(x)/(ex)，x＜0

，
当x≥0时，f′（x）=(1−x)/(ex)，
当0≤x＜1时，f′（x）＞0，当x≥1时，f′（x）≤0
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当x＜0时，f′（x）=(x−1)/(ex)＜0，f（x）为减函数，
∴函数f（x）=(|x|)/(ex)在（0，+∞）上有一个最大值为f（1）=(1)/(e)，作出函数f（x）的草图如图：
设m=f（x），当m＞(1)/(e)时，方程m=f（x）有1个解，
当m=(1)/(e)时，方程m=f（x）有2个解，
当0＜m＜(1)/(e)时，方程m=f（x）有3个解，
当m=0时，方程m=f（x），有1个解，
当m＜0时，方程m=f（x）有0个解，
则方程f²（x）-tf（x）+t-1=0等价为m²-tm+t-1=0，
要使关于x的方程f²（x）-tf（x）+t-1=0恰好有4个不相等的实数根，
等价为方程m²-tm+t-1=0有两个不同的根m₁＞(1)/(e)且0＜m₂＜(1)/(e)，
设g（m）=m²-tm+t-1，
则

g(0)＝t−1＞0

g((1)/(e))＝(1)/(e2)−(t)/(e)+t−1＜0

−(−t)/(2)＞0

，即

t＞1

t＜(e+1)/(e)＝1+(1)/(e)

t＞0

，
解得1＜t＜1+(1)/(e)，
故选：C