求曲线积分∮Lxdy-ydxx2+9y2，其中L为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线．

Question

求曲线积分∮_L(xdy-ydx)/(x2+9y2)，其中L为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线．

Answer 1

由题意，设P(x，y)=(-y)/(x2+y2)，Q(x，y)=(x)/(x2+y2)，C所围成的区域为G
（1）闭曲线L内部不包含原点时，
显然P，Q在L所围区域G连续，并且有连续的偏导数
(∂P)/(∂y)=(∂Q)/(∂x)=(-x2+9y2)/((x2+9y2)2)．
故由格林公式，有：
∮_L(xdy-ydx)/(x2+9y2)=

∫∫

G

((∂Q)/(∂x)-(∂P)/(∂y))dxdy=0．
（2）闭曲线L内部包含原点时．作小椭圆域x²+9y²≤r²，其中r为充分小正数，使得椭圆域包含在G内，椭圆周为Γ，Γ取正向，
则由格林公式有：∮L(xdy-ydx)/(x2+y2)=∫Γ(xdy-ydx)/(x2+9y2)．
再注意到Γ的参数方程为：x=rcosφ，y=(1)/(3)rsinφ，0≤φ≤2π，得
∫Γ(xdy-ydx)/(x2+9y2)=

∫

2π 0

((1)/(3)rcosφrcosφ-(1)/(3)rsinφ(-tsinφ))/(r2)dφ=(2π)/(3)．
于是，∮C(xdy-ydx)/(x2+y2)=(2π)/(3)．