如图甲所示，两根平行光滑金属导轨相距L=1m，导轨平面与水平面的夹角θ=30°，导轨的下端PQ间接有R=8Ω电阻．相距x=6m的MN和PQ间存在磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场

Question

如图甲所示，两根平行光滑金属导轨相距L=1m，导轨平面与水平面的夹角θ=30°，导轨的下端PQ间接有R=8Ω电阻．相距x=6m的MN和PQ间存在磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场．磁感应强度B随时间t的变化情况如图乙所示．将阻值r=2Ω的导体棒ab垂直放在导轨上，使导体棒从t=0时由静止释放，t=1s时导体棒恰好运动到MN，开始匀速下滑．g取10m/s²．求：

（1）0～1s内回路中的感应电动势；
（2）导体棒ab的质量；
（3）0～2s时间内导体棒所产生的热量．

Answer 1

（1）0-1s内，磁场均匀变化，由法拉第电磁感应定律有：
 E₁=(△Φ)/(△t)=(△B)/(△t)S
由图象得 (△B)/(△t)=2T/s，且 S=Lx=6m²
代入解得：E₁=12V
（2）导体棒从静止开始做匀加速运动，加速度 agsinθ=10×0.5=5m/s²
t=1s末进入磁场区域的速度为 v=at₁=5×1=5m/s
导体棒切割磁感线产生的电动势 E₂=BLv=2×1×5V=10V
根据导体棒进入磁场区域做匀速运动，可知导体受到的合力为零，有：
   mgsinθ=F_安=BIL
根据闭合电路欧姆定律有：I=(E2)/(R+r)
联立以上各式得：m=0.4kg
（3）在0～1s内回路中产生的感应电动势为 E₁=12V
根据闭合电路欧姆定律可得  I₁=(E1)/(R+r)=(12)/(8+2)=1.2A
1s～2s内，导体棒切割磁感线产生的电动势为 E₂=10V
根据闭合电路欧姆定律可得 I₂=(E2)/(R+r)=(10)/(8+2)=1A
0～2s时间内导体棒所产生的热量 Q=

I

2 1

rt1+

I

2 2

r(t2-t1)
代入数据解得 Q=4.88J
答：（1）0～1s内回路中的感应电动势是12V；
（2）导体棒ab的质量是0.4kg；
（3）0～2s时间内导体棒所产生的热量是4.88J．