设P是三角形ABC内一点,求证:∠PAB,∠PBC,∠PCA至少有一个小于或等于30°用平均值原则怎么证?

Question

设P是三角形ABC内一点,求证:∠PAB,∠PBC,∠PCA至少有一个小于或等于30° 用平均值原则怎么证?

Answer 1

【证】 令α=∠PAB,β=∠PBC,γ=∠PCA．于是,
P到AB的距离
=PAsinα=PBsin（B-β）,
P到BC的距离
=PBsinβ=PCsin（C-γ）,
P到CA的距离
=PCsinγ＝PAsin（A-α）．
从而
sinα·sinβ·sinγ=sin（A-α）·sin（B-β）·sin（C-γ）
若α+β+γ≤90°,结论显然成立,若α+β+γ＞90°,则
（A-α）+（B-β）+（C-γ）≤90°
sinαsinβsinγ=sin（A-α）sin（B-β）sin（C-γ）
由此可知α,β,γ中存在一个,例如α满足
所以,或者a≤30°减者α≥150°．在后一情况必有β,γ都小于30°．
这是奥林匹克题